CHÀO MỪNG TẤT CẢ
CÁC EM ĐẾN VỚI
MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG
Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp với hai thửa ruộng hình vuông có
diện tích như hình bên.
Khu đất hình tam giác vuông có chu vi
bằng chu vi thửa ruộng bé không? Kiểm
tra bằng cách nào?

CHƯƠNG 3. CĂN THỨC
BÀI 4. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN
BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC
BẬC HAI

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Trục căn thức ở mẫu

2

Rút gọn biểu thức chứa
căn thức bậc hai

1. TRỤC CĂN THỨC
Ở MẪU

cửa sổ như Hình 1.

a) Hai bạn An và Mai tính độ dài cạnh (m) của mỗi ô cửa.

1
2
√
An: 𝑎=                            Mai :𝑎=
2
√2
Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.
b) Biết rằng Không dùng máy tính cầm tay, hai bạn tìm giá trị gần đúng của độ dài mỗi
ô cửa.

1
2
√
An : 𝑎=
≈ 1: 1,4142=…                     Mai : 𝑎=
≈1,4142 : 2=…
2
√2
Theo em, bạn nào sẽ tìm ra đáp số nhanh hơn?

Giải:

Độ dài cạnh của cửa sổ là
Vậy kết quả của hai bạn đều đúng.
b) Cách của bạn Mai sẽ tìm đáp số dễ dàng và nhanh hơn.

Tổng quát

Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

Giải:

2 √ 2. √ 5 √ 10
√
a )  =
=
√5 √5 . √ 5 5

3. √ 6
3 √6 √6
b ) 
=
=
=
2 √ 6 2 √6 . √ 6 2.6 4

4 √3
4 √3 . √2
4 √6
c )−
=−
=−
=− 2 √ 6
2
√2
√ 2. √ 2

3

Chú ý
Với số thực không âm và số thực dương, ta thường biến đổi

để khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn.
Tổng quát hơn, với hai biểu thức và thỏa mãn , ta có:

Ví dụ 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Giải:

√ √
√ √

3 3.5 √ 15 √ 15
a )  =
= 2=
5 5.5 √ 5
5
2𝑎 2 𝑎.3𝑏 √ 6 𝑎𝑏 √ 6 𝑎𝑏
b)
=
=
=
3𝑏 3 𝑏.3 𝑏 √(3 𝑏)2 3|𝑏|

Ví dụ 3. Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

Giải:

4 ( √ 3+1 )
4 ( √ 3+1 ) 4 ( √ 3+1 )
4
a ) 
=
=
=
=2
3
+2
√
2
3 −1
√3 − 1 ( √ 3 −1 ) ( √3 +1 ) ( √ 3 ) −1

2 ( √ 5 − √3 )
2 ( √ 5 − √3 ) 2 ( √ 5 − √3 )
2
b ) 
=
=
=
=√ 5 − √ 3
2
2
5−3
√5+ √ 3 ( √5+ √ 3 ) ( √ 5 − √3 ) ( √ 5 ) − ( √ 3 )

Ghi nhớ
b) Với các biểu thức mà và , ta có:

c) Với các biểu thức mà và , ta có:

Ví dụ 4. Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

Giải:

1
𝑥 +3
𝑥+ 3
√
√
a ) 
=
=
√ 𝑥 − 3 ( √ 𝑥 − 3 ) ( √ 𝑥+ 3 ) 𝑥 −9

𝑥 ( 2√𝑥 − √ 𝑦 )
√
2 𝑥 − √ 𝑥𝑦
b ) 
=
=
4 𝑥− 𝑦
2 √ 𝑥+ √ 𝑦 ( 2 √ 𝑥+ √ 𝑦 ) ( 2 √ 𝑥 − √ 𝑦 )

√𝑥

Thực hành 1
7 √𝟕 . √ 𝟑 √ 𝟐𝟏
√
a)
¿
=
√ 3 √𝟑 . √ 𝟑 𝟑

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

𝟏𝟎 √𝟓
𝟏𝟎 √𝟓
𝟐 √𝟓
10
¿−
=−
=−
b )−
𝟑.𝟓
𝟑
𝟑 √ 𝟓. √ 𝟓
3 √5

𝟐 √𝟐
𝟐√𝟐
𝟓
𝟓
2 √2
√
√
¿
=
=
=
c)
√ 40 √ 𝟒 .𝟐 . 𝟓 𝟐 √𝟐 . √ 𝟓 √ 𝟓 . √𝟓 𝟓
2
√
d)
√5 − √ 2

𝟐 ( √ 𝟓+ √ 𝟐) √ 𝟏𝟎+𝟐
√
¿
=
𝟓 −𝟐

𝟑

Thực hành 2

√ √
√
√

Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

11 𝟏𝟏 .𝟔 √ 𝟔𝟔
¿
=
a)
𝟐
𝟔
6
𝟔
2
b)𝑎
 v ớ i 𝑎>0
5𝑎
𝟐.𝟓𝒂 𝒂 √ 𝟏𝟎𝒂 √𝟏𝟎 𝒂
¿𝒂
=
=
𝟐
𝟓𝒂
𝟓
( 𝟓𝒂 )

√

3
c )4 𝑥
vớ i   𝑥>0, 𝑦>0
4 𝑥𝑦

Vận dụng 1

Biết rằng hình thang và hình chữ nhật ở Hình 2 có diện tích

bằng nhau. Tính chiều cao của hình thang.
Giải:
Diện tích hình chữ nhật là:

Vì diện tích của hai hình bằng nhau nên ta có:

2. RÚT GỌN BIỂU THỨC
CHỨA CĂN THỨC
BẬC HAI

Hình vuông được chia thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật
như Hình 3.
a) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông và .
b) Tính độ dài đường chéo của hình vuông theo hai cách khác
nhau.

Giải:
a) (cm); (cm)
b) Cách 1: (cm); (cm)
Cách 2: (cm)

Ta rút gọn biểu thức như sau:
đưa thừa số ra ngoài dấu căn
tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta thường cần vận dụng thích hợp các
tính chất (giao hoán, kết hợp, phân phối) của các phép tính, quy tắc về thứ tự thực
hiện phép tính và các phép biến đổi đã biết.

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau:

Giải:

a )  √ 24 − 4 √ 6= √ 2 .6 − 4 √ 6=2 √ 6 − 4 √ 6=( 2 − 4 ) √ 6=− 2 √6
2

c )  ( √ 8+ √ 3 ) √ 6=√ 8. √ 6+ √ 3. √6= √ 8.6+ √3.6= √ 4 .3+ √ 3 .2=4 √ 3+3 √ 2
2

2

Ví dụ 6. Rút gọn các biểu thức sau:

Giải:

3

( 1+ √ 𝑎 ) ( 1 − √ 𝑎+ 𝑎 )
1+ 𝑎 √ 𝑎 1+ ( √ 𝑎 )
b)
=
=
= 1− √ 𝑎+ 𝑎
1+ √ 𝑎
1+ √ 𝑎
1+ √ 𝑎

Thực hành 3

Rút gọn các biểu thức sau:

¿ √ 𝟐 .𝟓 − √𝟓=𝟐 √ 𝟓− √ 𝟓= √𝟓
𝟐

a)

4 ¿ 𝟒𝟐 .𝟐 − 𝟑 𝟐 . 𝟐+ 𝟒 √ 𝟐 =𝟒 𝟐 −𝟑 𝟐+𝟐 𝟐=𝟑 𝟑
√
√
√
√
√
√
b ) √ 32 − √ 18+
𝟐
√2

c)
.

Thực hành 4

Rút gọn các biểu thức sau:

2
3
a ) √9 𝑥 +4 𝑥
3

√

𝑥
2
−𝑥
4

√

𝑎 −5
1
b )    v ớ  viớ i𝑥
𝑎≠>0
− √5
𝑎+
5
√
𝑥
2

Vận dụng 2

Trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 52).

Giải:
Cạnh của thửa ruộng bé:
(m)
Cạnh của thửa ruộng lớn:
(m)
Chu vi của thửa ruộng bé:
(m)

Vận dụng 2

Trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 52).

Giải:
Cạnh huyền của khu đất hình tam giác vuông:

(m)
Chu vi của khu đất này là:
(m)
Vậy .

LUYỆN TẬP

TRÒ CHƠI
NÔNG TRẠI VUI VẺ

√ √ √

3 1
1
C â u  1. Th ự c  hi ện  phé p  t í nh  sau:2 + −
20 60 15
A. 6

𝟏
1
B
√
B ..
√𝟏𝟓
15
𝟔
6

C.

1
D.
3

√ 15

3
Câ u  2.  Tr ụ c  că n  th ứ c ở  m ẫ u   biể u  th ứ c  sau: 
√ 5− √2
A.

C.

B .  √ 5 − √2
D .  √ 5 +2

√

3
C â u  3. Kh ử m ẫ u  c ủ a  bi ể u   th ứ c  l ấ y  că n  sau: 
50
6
√
A .
5

C.

15
√
B . 
6

𝟔
6
√
√
D
D . 
. 

𝟏𝟎
10

𝑎+𝑏−2 √ 𝑎𝑏
C â u  4.   Tr ụ c   c ă n   th ứ c  ở  m ẫ u  : 
√𝑎 −√𝑏

A .  √ 𝑎+ √ 𝑏 B . 𝑎 −𝑏
C.

D .  𝑎+𝑏

A
A . 
. 

𝟏
1−
−

𝒙
√𝑥

𝑥
√𝒙

1
C.
√𝑥

B . 

√𝑥

√ 𝑥 +2

𝑥+ 2
√
D . 
√𝑥

Trò chơi kết thúc, mời các em cùng
chuyển sang nội dung tiếp theo!

Bài 1 (SGK-tr56) Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

2 √5 𝟐 √𝟓. √ 𝟐 𝟐 √𝟏𝟎
a)
¿
=
=
𝟏𝟎
√
𝟐
2
√
𝟐
(√ 𝟐)
3 √𝑎
c )−
  v ớ i𝑎> 0
√12 𝑎

𝟑 √𝒂

𝟑 √𝒂
𝟑
√
¿− 𝟐
=−
=−
𝟐
𝟐
𝟑
.
𝒂
√
√
𝟐
.
𝟑
𝒂
√

10
𝟏𝟎 √𝟓 𝟏𝟎 √ 𝟓 𝟐 √ 𝟓
b)
¿
=
=
𝟐
3 √ 5 𝟑. ( √𝟓 )
𝟑.𝟓
𝟑

Bài 2 (SGK-tr56) Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

√ √
√

4 ¿ 𝟐 . 𝟕 = √ 𝟐 . 𝟕 = 𝟐 √𝟕
a)
𝟐
𝟐
𝟕
𝟕
7
𝟕
√
𝟐

2
c)
 
vớ
i
𝑎>0
3
3𝑎

𝟐

√ √ √
√

5 ¿ 𝟓 = 𝟓.𝟔 = √ 𝟑𝟎 = √𝟑𝟎 = √ 𝟑𝟎
b)
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
24 𝟐 .𝟔 𝟐 .𝟔 √𝟐 .𝟔 𝟐.𝟔 𝟏𝟐
2

𝑎
d )2𝑎𝑏
v ớ i  𝑎<0 ,𝑏>0
2𝑏

Bài 3 (SGK-tr56) Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

𝟒 ( √ 𝟏𝟑+𝟑)
𝟒( √ 𝟏𝟑+ 𝟑)
4
a)
¿
=
=𝟑+ √ 𝟏𝟑
𝟏𝟑 − 𝟗
√13 − 3 ( √ 𝟏𝟑 −𝟑)( √𝟏𝟑 +𝟑)

𝟏𝟎 (𝟓− 𝟐 √ 𝟓)
𝟏𝟎(𝟓 −𝟐 √ 𝟓)
10
b)
¿
=
=𝟏𝟎 − 𝟒 √ 𝟓
𝟐𝟓 −𝟐 𝟎
5 +2 √ 5 (𝟓+𝟐 √ 𝟓)(𝟓 −𝟐 √ 𝟓)

𝑎− √ 𝑏
√
c ) 
  v ớ i 𝑎>0 , 𝑏>0 ,𝑎 ≠𝑏
√ 𝑎+ √𝑏
𝟐
( √ 𝒂− √ 𝒃 )
𝒂 +𝒃 −𝟐 √ 𝒂𝒃
¿
=
𝒂− 𝒃
( √ 𝒂+ √ 𝒃)( √ 𝒂− √ 𝒃)

Bài 4 (SGK-tr56) Rút gọn các biểu thức sau:

¿ 𝟐 √ 𝟑− √ 𝟗 .𝟑=𝟐 √ 𝟑− 𝟑 √𝟑=− √𝟑

a)

¿ √ 𝟗 .𝟓 − √ 𝟒 .𝟓+ √ 𝟓=𝟑 √ 𝟓 −𝟐 √ 𝟓+ √ 𝟓=𝟐 √ 𝟓

b)

√

9
c ) √ 64𝑎− √ 18−𝑎 + √ 50  vớ i 𝑎>0
𝑎

Bài 5 (SGK-tr56) Tính:

a)

√

(√ )

√

4
24
4
+ √18= √8 +3 √ 2=2 √ 2+3 √ 2=5 √ 2
+ √3 √ 6 ¿ √ 6 . + √3 . √ 6=
3
3
3

√

27
b ) √ 18 : √ 6+ √ 8 .
2

c)

√√

18 27.8
¿ + =√ 3+ √27.4= √ 3+√ 3.9 .4= √3+3.2 . √3=7 √ 3
6 2
2

¿1 − 2.2 . √5 + ( 2 √ 5 ) =1− 4 √ 5+4.5=1+20 − 4 √ 5=21 − 4 √ 5
2

Bài 6 (SGK-tr56) Chứng minh rằng:

𝑎 √ 𝑏 −𝑏 √ 𝑎
1
a ) 
:
=𝑎 −𝑏   v ớ i 𝑎>0 ,𝑏>0
√ 𝑎𝑏
√ 𝑎+ √ 𝑏
Giải:
Ta có:

Bài 6 (SGK-tr56) Chứng minh rằng:

(

𝑎 + √𝑎
b )  1+
√ 𝑎 +1

)(

)

𝑎−√𝑎
1−
=1− 𝑎 v ớ i 𝑎 ≥ 0 v à 𝑎 ≠ 1
√𝑎 −1

Giải:
Ta có:

(đpcm)

VẬN DỤNG

Bài 7 (SGK-tr56) Tam giác được vẽ trên lưới ô
vuông như Hình 4. Tính diện tích và chu vi của tam
giác .
Giải:
Ta có
Suy ra
Chu vi tam giác là: (cm)

Bài 8 (SGK-tr56) Một vườn hoa gồm ba thửa
hình vuông X, Y, Z lần lượt có diện tích như Hình 5.
Tính chu vi của vườn hoa đó.
Giải:
Cạnh của thửa hình vuông X là: (m)
Cạnh của thửa hình vuông Y là: (m)
Cạnh của thửa hình vuông Z là: (m)
Vậy chu vi của vườn hoa là:
(m)

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Hoàn thành bài tập trong SBT.
 Chuẩn bị bài sau Ôn tập cuối chương 3.

CẢM ƠN CẢ LỚP
ĐÃ THAM GIA BÀI HỌC!