Detoan.com.vn


Điện thoại (Zalo) 0978207193

CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN VÀO 10
TOÁN CHƯƠNG TRÌNH MỚI
(Liệu hệ tài liệu word và đáp án SĐT (zalo) : 0978207193)

Tài liệu sưu tầm, ngày 20 tháng 7 năm 2024

Website: Detoan.com.vn

Mục Lục

Trang

Lời nói đầu
Chủ đề 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Chủ đề 2. Phương trình bất phương trình
Chủ đề 3. Căn bậc hai, căn bậc ba
Chủ đề 4. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Chủ đề 5. Đường tròn
Chủ đề 6. Hàm số bậc hai y = AX^2
Chủ đề 7. Xác suất - thống kê
Chủ đề 8. Góc nội tiếp
Chủ đề 9. Hình học không gian

Liên hệ phần đáp án zalo số 0978207193

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207 93

1

Website: Detoan.com.vn

CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
DẠNG 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm của phương trình bậc nhất hai
ẩn và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1. [NB] Phương trình bậc nhất hai ẩn là
A. y + 3x = 5 .
B. x − 3 y = 2 .
C. 2 x + 4 y − 6 = 0 .
D. Cả 3 đáp án trên.
Câu 2. [NB] Phương trình bậc nhất hai ẩn là
A.

y − 2x − 7 = 0 .

B.

x − 3y = 2 .

C. x − 5 y − 8 = 0 .

D. x 2 + y − 7 = 0 .

Câu 3. [NB] Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn
A. x + y = 3 .

B. 2 x − 5 y = 0 .

C. 7 x − 3 y − 11 = 0 .

D. x 2 − y = 3 .

Câu 4. [NB] Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình x − 3 y = 1 ?
A. ( 4;1) .

B. ( 2;0 ) .

C. (1;2 ) .

D. ( 2; −1) .

Câu 5. [TH] Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình 3x − 4 y + 5 = 0 ?

 5
C.  0;  .
 4
Câu 6. [TH] Phương trình −5x + y = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. (1;2 ) .

B. ( 5;5 ) .

D. Cả 3 đáp án trên.

A. Phương trình vô nghiệm..
B. Phương trình có một nghiệm.
C. Phương trình có hai nghiệm.
D. Phương trình có vô số nghiệm.
Câu 7. [TH] Công thức nghiệm tổng quát của phương trình 3x + 0 y = 12 là

x 
A. 
 y = −4

x 
B. 
y = 4

y
C. 
 x = −4

y
D. 
x = 4

Câu 8. [TH] Giá trị của a để phương trình ax − 3 y = 6 có nghiệm (1; −2 ) là
A. a = 3
C. a = 0

B. a = 2
D. a = −3

 −2 
Câu 9. [VD] Giá trị của a để phương trình 3 y + 2ax = 0 có nghiệm  1;  là
 3 
A. a = −3
B. a = 2
C. a = 0
D. a = 1
Câu 10. [VD] Giá trị của m để phương trình 4mx − 3 y = −8 có nghiệm ( 2;0 ) là
A. m = 1

B. m = −1

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

1

Website: Detoan.com.vn

C. m = −2

D. m = 2

Câu 11. [VD] Giá trị của m để phương trình 2x + 8y = −3m có nghiệm ( −5;−1) là
A. m  −6
B. m = −6
C. m  6
D. m = 6
Câu 12. [VD] Tập nghiệm của phương trình −x + y = 3 là
A. S = ( x;−x − 3) | x 
C. S = ( x; x + 3) | x 

.

.

B. S = ( x;−x + 3) | x 
D. S = ( x + 3; x ) | x 

.

.

2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai
Câu 1.
Phương trình nào là phương trình bậc nhất Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) 2x + 3 = 2x − y .
b) 2x + 3 = − y
c) x 2 − y = 1 .
d) 2x = 4 − y .
Câu 2. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) 2x + 3y 2 = 0
b) x 3 + y = 5
c) xy − x = 1
d) 2x − 3y = 4
Cho phương trình 2x − y = 4 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 3.

x 
a) Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là 
 y = 2x − 4
b) Phương trình luôn vô nghiệm.
c) Phương trình có vô số nghiệm.
d) Phương trình có cùng tập nghiệm với phương trình 2 x = 4 − y .
Câu 4. Cho phương trình mx − 4 y = 2 có một nghiệm là (1; 2 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Khi m = 2 phương trình có một nghiệm (1; 2 ) .
b) Khi m = 10 phương trình có một nghiệm (1; 2 ) .
c) Khi m = −2 phương trình vô nghiệm.
d) Khi m = −1 phương trình có hai nghiệm.
Câu 5.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình 4 x + 0 y = 4 . Khẳng định nào sau
đây đúng?
a) x = 1

 x =1
b) 
yR

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

2

Website: Detoan.com.vn

y
c) 
 x =1
d) y  R
Câu 6. Nghiệm nguyên của phương trình x − 3 y = 4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
a) ( 4 + 3 y; y ) với ( y  Z ).
b) (1; −3)
c) (1;4 )
d) ( −3;4 )
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. [NB] Với giá trị nào của a thì phương trình sau vô nghiệm ax + 0 y = 5 ?
Câu 2. [NB] Nghiệm tổng quát của phương trình −2 x − y = 4 là gì?
Câu 3. [TH] Nghiệm của phương trình

1
x − 2 y = −1 là bao nhiêu?
2

Câu 4. [VD] Cho phương trình ( m + 2 ) x − my = −1 ( m là tham số). Hỏi phương trình luôn có
nghiệm là bao nhiêu với mọi m ?
Câu 5. [VDC] Tìm nghiệm nguyên âm lớn nhất của phương trình −5x + 2 y = 7 .
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN (GV chép phần bài tập tự luyện trên file đáp án vào)
Phương pháp giải:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c
(1)
Trong đó a , b và c là các số đã biết ( a  0 hoặc b  0 ).
2. Nếu tại x = x0 và y = y0 ta có axo + byo = c là một khẳng định đúng thì cặp số ( xo ; yo ) được
gọi là một nghiệm của phương trình (1)
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn .
3. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên, ta biểu diễn x theo y (hoặc y
theo x ) rồi đưa ra kết luận về công thức nghiệm tổng quát.
4. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng ( d ) có
phương trình ax + by = c .
Ví dụ 1 [NB]: Trong các hệ thức sau, hệ thức nào là phương trình bậc nhất hai ẩn?

2x − 3y = 5
0x + 2 y = 4

4 x + 7 y = 10
2x − 0 y = 3

−3x + 5 y = 2
0x − 0 y = 6

Lời giải
Hệ thức 0 x − 0 y = 6 có a = b = 0 nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. Các hệ thức
còn lại đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 2 [TH]: Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
a) 3x − y = 2 ;
b) x + 5 y − 3 = 0

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

3

Website: Detoan.com.vn

c) 4x + 0y = −2

d) 0x + 2y = 5

Lời giải
a) 3x − y = 2 Suy ra y = 3x − 2 . Vậy phương trình có nghiệm tổng quát ( x;3x − 2 ) với x 

tuỳ

ý

b) x + 5y − 3 = 0 Suy ra x = −5y + 3 . Vậy phương trình có nghiệm tổng quát ( −5y + 3; y ) với

y
 1 
c) 4x + 0y = −2 . Phương trình có nghiệm tổng quát  − ; y  với y 
 2 

 5
d) 0 x + 2 y = 5 . Phương trình có nghiệm tổng quát  x;  với x 
 2
Ví dụ 3 [TH]: Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a) (1;2 ) là nghiệm của phương trình mx + y − 5 = 0 ;

tuỳ ý.

tuỳ ý.

b) Điểm A(0;3) thuộc đường thẳng 4 x + my − 6 = 0 .
Lời giải
a) Thay x = 1, y = 2 vào phương trình ta có m.1 + 2 − 5 = 0  m = 3 .
b) Thay x = 0, y = 3 vào phương trình đường thẳng, ta có 4.0 + m.3 = 6  m = 2 .
Ví dụ 4 [TH]: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương trình
x + 5 y = 3 trên mặt phẳng tọa độ.
Lời giải
Ta có : x + 5 y = 3  x = 3 − 5 y

x = 3 − 5y
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là 
y
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình là đường thẳng x + 5 y = 3 .
+ Tại y = 0 thì x = 3 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm ( 3; 0 ) .
+ Tại thì y =

3
3
⇒ Đường thẳng đi qua điểm ( 0; ).
5
5

3
Vậy đường thẳng x + 5 y = 3 là đường thẳng đi qua hai điểm ( 3; 0 ) và ( 0; ).
5

Ví dụ 5 [TH]: Xét phương trình x − 10 y = −4

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

4

Website: Detoan.com.vn

a) Hãy chỉ ra ba nghiệm của phương trình.
b) Viết tập nghiệm của phương trình.
Lời giải
a) Ba cặp số ( 6;1 ) ; ( −4;0 ) và ( −14; −1 ) là ba nghiệm của phương trình.
b) Ta có: x − 10 y = −4 ⇔ x = 10 y − 4 .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là (10 y − 4; y )

( y  R) .

Ví dụ 6 [VD]: Giả sử ( x; y ) là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2 y = 5
a) Hoàn thành bảng sau đây:
x

−2

−1

0

?

?

y

?

?

?

1

2

Từ đó suy ra 5 nghiệm của phương trình đã cho.
b) Tính y theo x . Từ đó cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm.
Lời giải
a) Ta có:
x

−2

−1

0

3

1

y

7
2

3

5
2

1

2

7

 5
Vậy 5 nghiệm của phương trình đã cho là:  −2;  ; ( −1;3) ;  0;  ; ( 3;1) ; (1;2 )
2

 2
5− x
b) Ta có: y =
. Với mỗi giá trị x tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị y tương ứng.
2
Do đó phương trình đã cho vô số nghiệm.
Ví dụ 7 [VD]: Xác định a để phương trình ax − y = 1 có nghiệm: ( 2;5 )
Viết công thức nghiệm và biểu diễn tập nghiệm với a tìm được trên mặt phẳng tọa độ.
Lời giải
Phương trình ax − y = 1 có nghiệm ( 2;5 )

 2a = 6  a = 3
Vậy khi a = 3 thì phương trình ax − y = 1 có nghiệm ( 2;5 ) .
Với a = 3 có 3x − y = 1 => y = 3x − 1

x  R
Công thức nghiệm của phương trình 
 y = 3x − 1
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
+ Tại y = 0 thì x =

1
1 
⇒ Đường thẳng đi qua điểm  ;0  .
3
3 

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

5

Website: Detoan.com.vn

+ Tại x = 0 thì y = −1 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm ( 0; −1 ) .

1 
Vậy đường thẳng y = 3x −1 là đường thẳng đi qua hai điểm  ;0  và ( 0; −1) .
3 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [NB] Kiểm tra cặp số sau có phải là nghiệm của phương trình 2 x − y − 1 = 0 hay không?
a) (1;1) ;

b) (0,5;3) .

c) ( 0;0 )

Bài 2. [NB] Trong các cặp số (2;1) , (3; −1) , (0;5) cặp số nào là nghiệm của phương trình

x + 2y − 4 = 0 .
Bài 3. [TH] Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau
trên mặt phẳng tọa độ:
a) x − 3 y = 6
b) 7 x + 0 y = 14
c) 0 x − 4 y = 8
Bài 4. [VD] Tìm 3 nghiệm của phương trình 2 x − 3 y = 5 .
Bài 5. [VD] Tìm 4 nghiệm của phương trình x − 6 y = −2 .
Bài 6. [VD] Xác định a để phương trình ax − y = 3 có nghiệm (1 ;3) .
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình mx − 2 y = m + 3 . Tìm các giá trị của tham số m để
song song với trục hoành.
A. m = −3 .
C. m = −1.

B. m = −2 .
D. m = 0 .

Bài 2. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình (m − 2) x + (3m − 1) y = 6m − 2 . Tìm các giá trị của
tham số m để ( d ) song song với trục hoành.
A. m = 1 .
C. m = 3 .

B. m = 2 .
D. m = 4 .

Bài 3. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình (5m − 15) x + 2my = m − 2 . Tìm các giá trị của tham
số m để ( d ) song song với trục hoành.
A. m = 1 .

B. m = 2 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

6

Website: Detoan.com.vn

C. m = 3 .

Bài 4. Cho đường thẳng ( d )

D. m = 4 .
có phương trình ( m −1) x − (2m + 1) y = m −1 . Tìm các giá trị của

tham số m để ( d ) trùng với trục hoành.
A. m = 1 .
1
C. m = .
2

B. m = −1.
1
D. m = − .
2
Bài 5. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình ( m − 4 ) x − ( m + 1) y = 3 . Tìm các giá trị của tham số
m để ( d ) song song với trục tung.

A. m = −2 .
C. m = 1 .

B. m = 2 .
D. m = −1.

Bài 6. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình (m − 2) x + (3m − 1) y = 6m − 2 . Tìm các giá trị của
tham số m để song song với trục tung.
1
A. m = .
3

2
.
3
1
C. m  2 .
D. m  .
3
m −1
Bài 7. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình
. x + (1 − 2m) y = 2 . Tìm các giá trị của tham số
2
m để ( d ) song song với trục tung.

A. m = 1 .
C. m = 2 .

B. m =

1
.
2
1
D. m = .
2

B. m 

Bài 8. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình (2m − 4) x + (m − 1) y = m + 5 . Tìm các giá trị của
tham số m để ( d ) đi qua gốc tọa độ.
A. m = 2 .
C. m = −5 .

B. m = 1 .
D. m  5 .

Bài 9. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình 3x − (m + 1) y = m + 3 . Tìm các giá trị của tham số
m để ( d ) đi qua điểm M (−1;0) .

A. m = 0 .
C. m = −3 .

B. m = −1 .
D. m = −6 .

Bài 10. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình (5m − 15) x + 2my = m − 2 . Tìm các giá trị của tham
số m để ( d ) đi qua điểm N (0;3) .
A. m = 2 .
C. m = 3 .

2
B. m = − .
5
1
D. m = − .
3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

7

Website: Detoan.com.vn

Bài 11. Cho đường thẳng ( d ) có phương trình (2m − 4)x + (m −1) y = m + 5 . Tìm các giá trị của
tham số m để ( d ) đi qua điểm P(2;− 5) .
A. m = −4 .
B. m = 4 .
C. m = −5 .
D. m = 5 .
Bài 12. Chọn khẳng định đúng. Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của phương trình nào?

A. 3x − y = 2 .
B. x + 2 y = 4 .
C. x + 5 y = 3 .

D. 0 x + 2 y = 5 .

2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai
Câu 1.
Cho đường thẳng d có phương trình 2m. x + ( m − 3) y = 2 . Khẳng định nào sau đây
là đúng?
a)
m = 0 khi đường thẳng d song song với trục hoành..
b) m = 0 khi đường thẳng d song song với trục tung.
c) m = 3 khi đường thẳng d song song với trục tung..
d) m = 3 khi đường thẳng d song song với trục hoành..
2m + 4
x + ( m − 5) y = 0 . Khẳng định nào sau đây là
Câu 2. Cho đường thẳng d có phương trình
m−3
đúng?
a)
m = −2 khi đường thẳng d song song với trục hoành..
b) m = −2 khi đường thẳng d song song với trục tung.
c) m = 5 khi đường thẳng d song song với trục tung..
d) m = 5 khi đường thẳng d song song với trục hoành..
Câu 3.
Cho đường thẳng d có phương trình x + ( 2m − 3) y = m + 6 . Khẳng định nào sau
đây là đúng?
a)
m = −6 khi đường thẳng d đi qua gốc tọa độ.
b) m = 0 khi đường thẳng d đi qua gốc tọa độ.
c) m = 5 khi đường thẳng d đi qua gốc tọa độ.
d) m = −5 khi đường thẳng d đi qua gốc tọa độ.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

8

Website: Detoan.com.vn

Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng? Đường thẳng d biểu diễn tập nghiệm của phương trình
3x − y = 3 là:
a) Đường thẳng song song với trục hoành.
b) Đường thẳng song song với trục tung.
c) Đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

d) Đường thẳng song song với trục hoành đi qua điểm A (1;0 ) .
Câu 5.
đây đúng?

Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của phương trình nào?. Khẳng định nào sau

x
a) 3x − y = 2
b) x + 2 y = 4
c) x + 5 y = 3
d) 0 x + 2 y = 5
Câu 6. Đường thẳng 2mx − ( m + 4 ) y = m cắt trục Ox,Oy tại hai điểm phân biệt khi nào? Khẳng
định nào sau đây đúng?
a) m  0; m = 4
b) m  0; m  −4
c) m = 0; m = 4
d) m  0; m = −4
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. [NB] Phương trình đường thẳng ( d ) : mx + 2 y = 4 đi qua điểm cố định M có tọa độ là
bao nhiêu?
Câu 2. [TH] Đường thẳng 2 x − y =−4 đi qua điểm nào trong các điểm sau:

 1

 1

M ( 2;4 ) , N 
; −2 3  ?
;4 + 2  , P (1; −2 ) , Q 
 2

 3−2


Câu 3. [VD] Cho đường thẳng ( d ) : −mx + y = 3 và ( d ' ) : −3x − y = 5 . Tìm m để ( d ) ∥ ( d ' )
Câu 4. [VDC] Tìm m để đường thẳng mx − ( m + 4 ) y = m cắt trục Ox,Oy tại hai điểm phân biệt.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

9

Website: Detoan.com.vn

PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Phương pháp giải:
Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:
1. Nếu a  0 và b = 0 thì phương trình đường thẳng ( d ) : ax + by = c có dạng ( d ) : x =

c
a

Khi đó ( d ) song song hoặc trùng với Oy .
2. Nếu a = 0 và b 0 thì phương trình đường thẳng có dạng ( d ) : y =

c
b

Khi đó ( d ) song song hoặc trùng với Ox
3. Đường thẳng ( d ) : ax + by = c đi qua điểm M ( xo ; yo ) khi và chỉ khi axo + byo = c.
Ví dụ 1 [NB]: Cho phương trình x + 2 y = a − 1. Hãy chọn hệ số a để đường thẳng x + 2 y = a − 1
đi qua điểm O( 0; 0) ).
Lời giải
Đường thẳng x + 2 y = a − 1 đi qua điểm

 0 + 2.0 = a − 1  a = 1
Vậy a = 1 thì đường thẳng x + 2 y = a − 1 đi qua điểm O( 0; 0) .
Ví dụ 2 [TH]: Cho đường thẳng ( d ) có phương trình ( m – 2 ) x + ( 3m – 1) y = 6m – 2 .
Tìm các giá trị của tham số m để:
a) d song song với trục hoành;
b) d song song với trục tung.
Lời giải
a) Đường thẳng d có phương trình ( m – 2 ) x + ( 3m – 1) y = 6m – 2 song song với trục hoành

m – 2 = 0

3m – 1  0
 6m – 2  0


m = 2

1

Suy ra  m   m = 2
3

1

m  3
Vậy m = 2 thì đường thẳng d song song với trục hoành
b) Đường thẳng d có phương trình song song với trục tung

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

10

Website: Detoan.com.vn


m  2
m – 2  0


1

3
m
–
1
=
0
Suy ra  m = Suy ra m 

3
 6m – 2  0


1

m


3
Vậy không có giá trị nào của m để đường thẳng d song song với trục tung.
Ví dụ 3 [TH]: Cho đường thẳng d có phương trình: ( 2m – 1) x + 3 ( m – 1) y = 4m – 2.
Tìm các giá trị của tham số m để:
a) d song song với trục hoành;
b) song song với trục tung.
Lời giải
a) Đường thẳng d có phương trình ( 2m – 1) x + 3 ( m – 1) y = 4m – 2 song song với trục hoành

 2m – 1 = 0

3( m – 1)  0
 4m – 2  0

1

 m = 2

m  1

2
m 
Vậy không có giá trị nào của m để đường thẳng d song song với trục hoành.
b) Đường thẳng d có phương trình ( 2m – 1) x + 3 ( m – 1) y = 4m – 2 song song với trục tung

 2m – 1  0

3( m – 1) = 0
 4m – 2  0

1

m  2

m = 1

1
m 
2


m =1
Vậy m = 1 thì đường thẳng d song song với trục tung.
Ví dụ 4 [VD]: Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A ( 2; −2 ) và B ( −1;3) .
Lời giải

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A ( 2; −2 ) Suy ra −2 = a.2 + b suy ra b = −2 – 2a

(1)

Đồ thị hàm số đi qua điểm B ( −1;3) Suy ra 3 = a. ( −1) + b (2)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

11

Website: Detoan.com.vn

Thay (1) vào ( 2 ) ta có: 3 = −a – 2 – 2a  3a = −5  a =

−5
3

−5 4
=
3 3
−5
4
Vậy a =
và b = thì đồ thị hàm số đi qua 2 điểm A ( 2; −2 ) và B ( −1;3) .
3
3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [NB] Cho phương trình −2x + y = b . Hãy chọn hệ số b để đường thẳng −2x + y = b đi qua
 b = −2 − 2.

điểm O( 0; 0) .
Bài 2. [NB] Cho phương trình −bx + y = −2 . Hãy chọn hệ số b để đường thẳng −bx + y = −2 đi qua
điểm .
Bài 3. [NB] Cho phương trình x − by = 5 . Hãy chọn hệ số b để đường thẳng x − by = 5 đi qua điểm
P( −1; 2) .

Bài 4. [TH] Cho đường thẳng ( d ) có phương trình ( 2m − 3) x + ( 3m − 1) y = m + 2 .
Tìm các giá trị của tham số m để:
a) d song song với trục hoành;
b) d song song với trục tung.
Bài 5. [TH] Cho đường thẳng ( d ) có phương trình ( 2m − 3) x + ( 3m − 1) y = m + 2
Tìm các giá trị của tham số m để:
a) đi qua gốc tọa độ;
b) d đi qua điểm A ( −3; −2 ) .
Bài 6. [VD] Tìm a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm A(1;2) và B(−3; − 5).

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

12

Website: Detoan.com.vn

CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT 2 ẨN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn
lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai
phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa
một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý: Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng
nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình
với một số thích hợp (khác 0).
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN

3x + y = 5
là
x
−
2
y
=
−
3


Câu 1. [NB] Nghiệm của hệ phương trình 
A. ( 2;1) .

B. (1; 2 ) .

C. ( −1; 2 ) .

−2 x + 3 y = −1
là
3x − 4 y = 2

 2 23 
D.  ;  .
 7 14 

Câu 2. [NB] Nghiệm của hệ phương trình 
A. ( 2;1) .

B. ( −2;1) .

C. ( −1; 2 ) .

 x + y = −7
có nghiệm là
2 x − y = 1

D. (1;2 ) .

Câu 3. [NB] Hệ phương trình 
A. ( 2; −5 ) .

B. ( −2;5 ) .

C. ( −2; −5 ) .

D. ( 5; 2 ) .

2 x + 3 y = −1
có nghiệm là
3
x
−
4
y
=
7


Câu 4. [NB] Hệ phương trình 

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

13

Website: Detoan.com.vn

2 
A.  ;1 .
3 

B. (1;1) .

C. ( −1;1) .

−0,5 x + 0,5 y = 1
Câu 5. [TH] Số nghiệm của hệ phương trình 
là
−2 x + 2 y = 8
A. 2 .
B. Vô số nghiệm.
C. 1 .

D. (1; −1) .

D. 0 .

Câu 6. [TH] Cặp số ( 4; 2 ) là nghiệm của hệ phương trình

x − y = 2
A. 
.
x − 5 y = 4

x + y = 6
B. 
.
2 x − 5 y = 8

x + y = 6
C. 
.
x − y = 2

x − y = 2
D. 
.
3x + 2 y = 5

Câu 7. [TH] Cặp số (1; −2 ) không là nghiệm của hệ phương trình nào dưới đây?

2 x − y = 4
A. 
.
 x + y = −3

2 x + y = 0
B. 
.
x − y = 3

 x + 2 y = −3
C. 
.
2 x − y = 4

( 3x + 2 )( 2 y − 3) = 6 xy
Câu 8. [TH] Hệ phương trình 
có nghiệm là
( 4 x + 5)( y − 5 ) = 4 xy
A. ( −2;3) .
B. ( −3; −2 ) .
C. ( 2;3) .

3x + y = 1
D. 
.
3x − y = 5

D. ( −2; −3) .

4 x + y = 6
Câu 9. [VD] Biết hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 ) thì x02 + y02 bằng
x − 3y = 8
A. 18 .
B. 8 .
C. 0 .
D. 16 .
x − 2 y = 7
Câu 10. [VD] Biết hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 ) thì 4x0 + y0 bằng
3x + y = 0
A. 1 .

B. 2 .

D. −11 .

C. −2 .

ax + by = 1
Câu 11. [VD] Hệ phương trình 
có nghiệm là (1; −2 ) thì giá trị của a và b lần
ax
−
(
b
−
2)
y
=
1

lượt bằng
5
1
A. a = 3; b = 1 .
B. a = ; b = .
C. a = 1; b = 3 .
D. a = −3; b = 1 .
2
2

ax + by = 9
Câu 12. [VDC] Biết hệ phương trình 
có nghiệm là ( 3; −1) thì giá trị
( a − 2 ) x + (2b + 1) y = 5
của P = 3a − 4b bằng
A. 9 .
B. 18 .
C. 28 .
D. 20 .
2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI:
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai
Câu 1.

3x + 4 y = 5
Cho hai hệ phương trình 
(I) và
4 x + 3 y = 6

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

3x − 9 y = 5
(II)

−2 x + 6 y = 3

14

Website: Detoan.com.vn

a) Hệ (I) có vô số nghiệm.
b) Hệ (II) vô nghiệm.
c) Cả hệ (I) và hệ (II) có nghiệm duy nhất.
d) Chỉ có hệ (I) có nghiệm duy nhất.
Câu 2.

x − 2 y = 5
Biết hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 ) .
 x + 2 y = −2

a) x0 + 2 y0 = 3 .
b) 2 x0 + 4 y0 = −4 .

1
c) x02 + y0 = − .
2
d) x02 − y0 = 4 .

y 2x − 3

 x + 2 = 2
Câu 3. Cho hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 ) .
x
25
−
9
y
 + 3y =
 2
8
a) x0  0; y0  0 .
b) x0  0; y0  0 .
c) x0  0; y0  0 .
d) x0  0; y0  0 .
2

( x + y ) + y = 3
Câu 4. Cho hệ phương trình 
2
2

2 ( x + y + xy ) + y ( 2 x + 1) = 5

a) Hệ phương trình vô nghiệm.
b) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.

 x + x = −2
c) Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt ( x1 ; y1 ) và ( x2 ; y2 ) thỏa mãn tính chất  1 2
.
 y1 = y2
d) Hệ phương trình có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn tính chất nếu ( x0 ; y0 ) là ngiệm của hệ
phương trình thì ( − x0 ; − y0 ) cũng là nghiệm của hệ.
3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

2 x + y = 3
Câu 1. [NB] Hệ phương trình 
có nghiệm là:
x − y = 6

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

15

Website: Detoan.com.vn

4 x + 3 y = 6
Câu 2. [NB] Hệ phương trình 
có nghiệm là:
2 x + y = 4
5 x − 3 y = 11

Câu 3. [TH] Số nghiệm của hệ phương trình  3
1 là
x
−
y
=
2
 5
5
2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
Câu 4. [TH] Hệ phương trình 
có nghiệm là:
 x + y + 2( x − y ) = 5
−5 x + 2 y = 4
Câu 5. [VD] Biết hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 ) thì 3 x0 − 6 y0 bằng .
6
x
−
3
y
=
−
7

2

( x + y ) + x = 3
Câu 6. [VDC] Hệ phương trình 
có số nghiệm là .
2
2

2 ( x + y + xy ) + x ( 2 y + 1) = 5
PHẦN II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Ví dụ 1 [NB]: Giải các hệ phương trình sau:

 x + 3 y = −2
a) 
5 x − 4 y = 28

2 x + 3 y = −2
b) 
0,5 x − 1,5 y = −1

Ví dụ 2 [TH]: Giải các hệ phương trình sau:

( x + 2 )( y − 5 ) = xy − 50
b) 
( x + 4 )( y + 4 ) = xy + 216

5( x + 2) = 2( y + 7)
a) 
3( x + y ) = 17 − x

x+ y x− y
 5 = 3
Ví dụ 3 [TH]: Giải hệ phương trình 
 x = y +1
 4 2

 x( x − 2) − 2( y − x) = 2
Ví dụ 4 [VD]: Giải hệ phương trình 
2 x( x − 2) + (4 x + y ) = 9
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [NB] Giải các hệ phương trình sau:

2 x + 5 y = 8
a) 
2 x − 3 y = 0

3x + 3 y = 4
b) 
0, 4 x − 1, 2 y = −1,6

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

3( x + 1) − y = 6 − 2 y
c) 
2 x − y = 7

16

Website: Detoan.com.vn

5 x − y = 30
d) 
3x + y = 26

x y
 − =1
e)  2 3
5 x − 8 y = 3

x − 2 y + 6 = 0
f) 
5 x − 3 y − 5 = 0

x − y = 3
g) 
3x − 4 y = 2

7 x − 3 y = 5
h) 
4 x + y = 2

 x + 3 y = −2
i) 
5 x − 4 y = 11

Bài 2. [NB] Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

x + y 5 = 0
a) 

x 5 + 3y = 1− 5

3x − y = 5
d) 
5 x + 2 y = 23


x 2 − y 3 = 1
b) 

x + y 3 = 2


x − 2 2 y = 5
c) 

 x 2 + y = 1 − 10

3x + 4 y = 5
f) 
6 x + 7 y = 8

2 x − y = 1
e) 
 x + 3 y = 11

Bài 3. [NB] Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

2 x + 3 y = −2
a) 
3x − 2 y = −3

0,3x + 0,5 y = 3
b) 
1,5 x − 2 y = 1,5


x 2 − 3y = 1
c) 

2 x + y 2 = −2


5 x 3 + y = 2 2
d) 

x 6 − y 2 = 2

3x − 2 y = 10

e) 
2
1
 x − 3 y = 3 3

x y
 =
f)  2 3
 x + y − 10 = 0

Bài 4. [NB] Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

3x + y = 3
a) 
2 x − y = 7
3x − 2 y = 9
d) 
2 x + 3 y = −7

3

x + y =
c) 
2
3x − 2 y = 2

−5 x + 2 y = 4
b) 
6 x − 3 y = −7
4 x − 3 y = 6
e) 
0, 4 x + 0, 2 y = 0,8

5 x − 6 y = 4
f) 
2 x − 5 y = −1

Bài 5. [TH] Giải các hệ phương trình sau:


x + 2 7 y = − 7
a) 

2 x − 7 y = 2 7 + 7


 x +
b) 
x −


y 7
=
3 3
y −1
=
2 6

Bài 6. [TH] Giải các hệ phương trình sau:

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

17

Website: Detoan.com.vn

 2x y
 3 − 2 = 4
a) 
x + 2 y = 1

5

4(2 x − y + 3) − 3( x − 2 y + 3) = 48
b) 
3(3x − 4 y + 3) + 4(4 x − 2 y − 9) = 48


( 2 x + 1)( y − 2 ) = ( x − 3) 2 y
c) 

( x − 3)( y + 1) = ( x + 1)( y − 2 )


2 ( 3x − y ) − 2 y = 7
d) 

3 ( 2 y + x ) + 4 y = 8

2 ( x + 1) + 3 ( y − 2 ) = 9
e) 
3 ( x − 1) + y = 6

3 y ( x − 2 ) − x ( 3 y + 1) = 5
f) 
3x ( 2 − y ) + y ( 3x + 2 ) = 4

Bài 7. [VD] Giải các hệ phương trình sau:

 y ( y − 3) − 3( x − y ) = 6
a) 
2 y ( y − 3) + (6 y + x) = 19

2 x( x − 1) + 2 x − y = 1
b) 
 x( x − 1) + x + y = 2

Bài 8. [VDC] Giải các hệ phương trình sau:

 x 2 + y (3x + y ) = 5
a) 
( x + y )( x + y + 1) + xy = 7

 x 2 + xy + 2 = 3x + y
b)  2
2
 x + y = 2


2 x − y = 1
c) 
2
2

3 ( y − 3x + 1) x + ( y + 2 x + 2 ) ( x − 1) = −3 y

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

3
2
6 x + x y − x = 10
d)  2
 x − 2 x − y + 6 = 0

18

Website: Detoan.com.vn

DẠNG 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁ TRỊ TYỆT ĐỐI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các bước giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bước 1. Tìm ĐKXĐ của hệ phương trình.
Bước 2. Đặt ẩn phụ và diều kiện cho ẩn phụ (nếu có): Đặt ẩn phụ là lựa chọn các biểu thức
f(x,y); g(x,y) trong hệ phương trình để đặt thành các ẩn phụ mới làm cho đơn giản cấu trúc của hệ
PT. Qua đó tạo thành hệ PT mới đơn giản hơn.
Bước 3. Giải hệ phương trình với ẩn phụ.
Bước 4. Thay trả lại ẩn ban đầu và tìm giá trị của ẩn ban đầu.
Bước 5. Đối chiếu ĐKXĐ rồi kết luận.
B. BÀI TẬP
PHẦN I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN


 x −1 − 2 y = 1
Câu 1. [NB] Điều kiện xác định của hệ phương trình 
là

 x −1 + y = 4
A. x  1.
B. x  1.
C. x  1; y  0 .

D. x  1; y  0 .

6
 2
 x − y + x + y = 1,1

Câu 2. [NB] Điều kiện xác định của hệ phương trình 
là
 4 − 9 = 0,1
 x − y x + y
A. x  − y .

B. x  y .

C. x   y .

D. x  0; y  0.

6
 2
 x − y + x + y = 1,1

Câu 3. [NB] Cho hệ phương trình 
 4 − 9 = 0,1
 x − y x + y
Đặt

1
1
= a;
= b thì ta có hệ phương trình:
x− y
x+ y

2 6
 a + b = 1,1
A. 
.
4
9
 − = 0,1
 a b

2a + 6b = 1,1
B. 
.
4a − 9b = 0,1

2a − 6b = 1,1
C. 
.
4a + 9b = 0,1

4a + 6b = 1,1
D. 
2a − 9b = 0,1

2 x + y + x + 2 = 7
Câu 4. [NB] Cho hệ phương trình 
, nếu đặt x + y = a; x + 2 = b thì điều
5 x + y − 2 x + 2 = 4
kiện của a, b là

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

19

Website: Detoan.com.vn

B. a  0;b  0 .

A. a  0;b  0 .
a  0;b  0 .

C.

D. a  0;b  0.


 x −1 − 2 y = 1
có nghiệm là
Câu 5. [TH] Hệ phương trình 
x
−
1
+
y
=
4


A. x ; y

10;1 .

B. x ; y

2
x +

Câu 6. [TH] Hệ phương trình 
4 −
 x

A. x ; y

2;1 .

C. x ; y

1;10 .

5;2 .

D. x ; y

2; 0 .

D. x ; y

1; 0 .

3
=5
y −1
có nghiệm là
1
=3
y −1

B. x ; y

C. x ; y

1;2 .

1
;4 .
2


2 x − 3 y = −5
Câu 7. [TH] Hệ phương trình 
có nghiệm là
x
+
2
y
=
8


A. x ; y

2; 3 .

B. x ; y

C. x ; y

2; 3 .

D. x ; y

2; 3 .
2; 3 ,

2; 3 .


2 ( x + 2 ) − 3 ( y + 1) = −4
Câu 8. [TH] Hệ phương trình 
có nghiệm là
3
x
+
2
+
2
y
+
1
=
20
(
)
(
)


A. ( x; y ) = ( −2;3) .

B. ( x; y ) = ( 2; − 3) .

C. ( x; y ) = ( −2; − 3) .

D.

( x; y ) = ( 2;3) .
Câu 9. [VD] Hệ phương trình

2 x
5x+5y

A. x; y

7;5 .

B. x; y

y

x
x

2
2

7; 5 .

7

có nghiệm là

4
C. x; y

2;0,5 .

D. x; y

1;4 .

3 ( x − 1) + 2 ( y − 3) = −5
Câu 10. [VD] Hệ phương trình 
có nghiệm là
 x + y −1 = x + y
 −5 
A. ( x, y ) =  3;  .
 2 

−5 
 5

B. ( x, y ) =  3;  và ( x, y ) =  −3;  .
2 
 2


−5 

C. ( x, y ) =  −3;  .
2 

−5 
 −5 

D. ( x, y ) =  3;  và ( x, y ) =  −3;  .
2 
 2 


Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

20

Website: Detoan.com.vn

2

x
+
2
+
=9

y
−
3

Câu 11. [VD] Hệ phương trình 
có nghiệm là
1
2 x + 4 −
=8

y −3

A. x, y

3;

C. x , y

3;

49
.
4
49
.
4

B. x , y

3;

D. x , y

3;

49
.
4
49
.
4

2 x 2 − 2 xy − y 2 = 2
Câu 12. [VDC] Hệ phương trình  3
có nghiệm là
2
2
3
2 x − 3x − 3xy − y + 1 = 0
A. x , y

1; 0 ,( 1;2) .

B. x , y

1; 0 ,( 1;2) .

C. x , y

2; 0 ,(1;2) .

D. x , y

1; 0 ,( 1; 2) .

2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, em chọn đúng hoặc sai

3
2
x + y −2 = 4

Câu 1. Cho hệ phương trình 
(I)
4 − 1 =1
 x y − 2
a) Điều kiện xác định của hệ (I) là x  0; y  2 .
b) Đặt a =

2
1
;b =
. Hệ phương trình (I) trở thành:
x
y−2

a + 3b = 4

(II)
2
a
−
b
=
1


a = 1
b = −1

c) Giải hệ phương trình II ta được 

d) Hệ phương trình (I ) có nghiệm duy nhất x , y


 2x −1 −

Câu 2. Cho hệ phương trình 
 2x −1 +


2; 3 .

5
5
=
y −3 2
(I)
1
7
=
y −3 5

1
a) Điều kiện xác định của hệ phương trình (I) là x  ; y  3 .
2
1
b) Đặt 2 x − 1 = a;
= b; a  0; b  0.
y −3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 0978207193

21

Website: Detoan.com.vn

5

a
−
5
b
=

2 (II)
Hệ phương trình (I) trở thành: 
7
a + b =
5

3

 a = 5
c) Giải hệ phương trình (II) ta được 
b = 4

5
 113 57 
d) Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 
; .
 225 16 
x

2

2

y

Câu 3. Cho hệ phương trình
2x

9

3

(I)

1

4

y

3

a) Điều kiện xác định của hệ phương trình (I) là

b) Đặt

1
y

3

8

y
y

a . Hệ phương trình (I) trở thành:
x
a

c) Giải hệ phương trình (II) ta được

2
2

9
0
(x 2) 2a
2(x 2) a

9
(II)
8

5

d) Hệ phương trình (I )có nghiệm duy nhất x ; y

3;

7
.
2

2 x + y + x + 2 = 7
Câu 4. Cho hệ phương trình 
(I)
5 x + y − 2 x + 2 = 4
a) Điều kiện xác định của hệ phương trình (I) là x
2
b) Đặt x

y

a; x

2

b; a

0;b

0.

 2a + b = 7
Hệ phương trìn...