ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2 – MÔN TOÁN – LỚP 9 – BỘ SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC
ĐỀ SỐ 01
A. MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2 – TOÁN 9 – KẾT NỐI TRI THỨC
Mức độ đánh giá
TT

Chủ đề/

Nội dung/ đơn

Chương

vị kiến thức

TNKQ
Nhiều lựa chọn
Biết

Hàm số Hàm

Hiểu

2

dụng

Biết

Hiểu

3

1

Vận
dụng

Trả lời ngắn
Biết

Hiểu

Vận
dụng

Biết

Hiểu

Tỉ lệ
%

Vận

Biết

Hiểu

6

1

2

3

3

1

2

1

2

1

2

dụng

Vận

điểm

dụng

số
3

1

Vận

“Đúng – Sai”

Tổng

Tự luận

17,5%

và đồ
Phương

thị

trình

Phương

trình

bậc hai bậc hai một ẩn.
một ẩn
Định lí Viète

3

Đường

Góc nội tiếp

1

1

tròn

Đường

ngoại

ngoại tiếp tam

và giác.
Đường
đường
tròn nội tiếp
tròn nội tam giác

1

1

tiếp

1

1

1

2

2

35%

1

10%

1

1

12,5%

1

1

15%

tròn

tiếp

Tứ giác nội tiếp

1

1

Đa giác đều
Tổng số câu

1

1

10

2

1
6

2

4

5

1

2

10%

16

8

5

29

Tổng số điểm

3,0

2,0

2,0

3,0

4,0

3,0

3,0

10,0

Tỉ lệ %

30

20

20

30

40

30

30

100

Lưu ý:
– Các dạng thức trắc nghiệm gồm:
+ Nhiều lựa chọn: mỗi câu cho 04 phương án, chọn 01 phương án đúng. Mỗi câu chọn đáp án đúng được 0,25 điểm.
+ “Đúng – Sai: mỗi câu hỏi có 04 ý, tại mỗi mỗi ý thí sinh lựa chọn đúng hoặc sai.
⦁ Trả lời đúng 1 ý được 0,1 điểm;
⦁ Trả lời đúng 2 ý được 0,25 điểm;
⦁ Trả lời đúng 3 ý được 0,5 điểm;
⦁ Trả lời đúng 4 ý được 1,0 điểm.
+ Trả lời ngắn: với mỗi câu hỏi, viết câu trả lời/ đáp án vào bài thi. Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
– Số điểm của câu tự luận được quy định trong hướng dẫn chấm nhưng phải tương ứng với tỉ lệ điểm được quy định trong ma trận.

B. BẢN ĐẶC TẢ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2 – TOÁN 9 – KẾT NỐI TRI THỨC
Số câu hỏi ở các mức độ đánh giá

Nội
TT

Chủ đề/
Chương

TNKQ

dung/
đơn vị

Yêu cầu cần đạt

kiến

trình
bậc hai

và đồ thị

Hiểu

dụn

Biết

Hiểu

Câu

– Nhận biết được

Câu 2,

13a,

tính

Câu 3

Câu

đối

xứng

(trục) và trục đối (GTTH)

13b,

xứng của đồ thị

Câu

hàm số

13c
(GTTH

một ẩn
– Xác định được

/ TD)

giá trị của hàm số
khi biết giá trị của
biến.
Hiểu:

Câu

– Thiết lập được

13d

bảng giá trị của

(TD/

hàm

số

dụn
g

Câu 1,

SD

Tự luận

Trả lời ngắn
Vận

g

Hàm số Hàm số Biết:

Phương

“Đúng – Sai”
Vận

Biết

thức
1

Nhiều lựa chọn

Vận
Biết

Hiểu

dụn
g

Biết

Hiểu

Vận
dụng

CCPT)
– Xác định được
hệ số

khi biết

đồ thị hàm số đi
qua một điểm cho
trước.
Vận dụng:
– Vẽ được đồ thị
của

hàm

số

– Giải quyết được
một số vấn đề
thực tiễn gắn với
hàm

số
và

đồ thị (ví dụ: các
bài toán liên quan
đến chuyển động
trong Vật lí, ...).
Phương

Biết:

Câu 4,

trình bậc – Nhận biết được

Câu 5,

hai một khái niệm phương

Câu 6

ẩn. Định trình bậc hai một (GTTH)
lí Viète

ẩn.
– Xác định các hệ
số

của

phương trình bậc
hai một ẩn.
– Xác định được
số

nghiệm

của

phương trình khi
biết dấu của biệt
thức/ biệt thức thu
gọn.
Hiểu:
–

Tính

nghiệm

được
phương

trình bậc hai một
ẩn bằng máy tính
cầm tay.
–

Giải

được

phương trình bậc
hai một ẩn.
– Giải thích được

Câu 7

Câu 15,

(SD

Câu 16

CCPT)

(TD/
GQVĐ)

định lí Viète.
Vận dụng:

Bài 1.1,

– Ứng dụng được

Bài 1.2

định lí Viète vào

(GQVĐ/

tính nhẩm nghiệm

MHH)

của phương trình
bậc hai, tìm hai số
biết tổng và tích
của chúng, ...
– Vận dụng được
phương trình bậc
hai vào giải quyết
bài toán thực tiễn
(đơn giản, quen
thuộc).
– Vận dụng được
phương trình bậc
hai vào giải quyết
bài toán thực tiễn
(phức

hợp,

không

quen

thuộc).
2

Đường

Góc nội Biết:

Câu 8

Câu

tròn

tiếp

– Nhận biết được (GTTH)

ngoại

góc nội tiếp.

tiếp và

Hiểu:

đường

– Giải thích được

tròn nội

mối liên hệ giữa

tiếp

số đo của cung, số

14a
(GTTH)

đo góc ở tâm với
số đo góc nội tiếp
cùng

chắn

một

cung.
Vận dụng:

Bài 2.2

– Chứng minh hai

(GQVĐ)

góc bằng nhau,
hai

cung

bằng

nhau, …
Đường

Biết:

tròn

– Nhận biết được (GTTH)

ngoại

định nghĩa đường

tiếp tam tròn

Câu 9

ngoại

Câu
14b
(GTTH)

tiếp

giác.

tam giác, đường

Đường

tròn nội tiếp tam

tròn nội giác.
tiếp tam Hiểu:

Câu

giác

– Xác định được

14d

tâm và bán kính

(TD/

đường tròn ngoại

GQVĐ)

tiếp

tam

giác,

trong đó có tâm
và

bán

kính

đường tròn ngoại
tiếp

tam

giác

vuông, tam giác
đều.
– Xác định được
tâm và bán kính
đường tròn nội
tiếp

tam

giác,

trong đó có tâm
và

bán

kính

đường tròn nội
tiếp tam giác đều.
Vận dụng:

Bài 2.3

– Chứng minh các

(GQVĐ)

tính

chất

liên

quan đến đường
tròn ngoại tiếp,

đường tròn nội
tiếp tam giác (ba
đường thẳng đồng
quy, thẳng hàng,
hai

góc

bằng

nhau, …)
Tứ giác Biết:
nội tiếp

Câu 10

Câu

– Nhận biết được (GTTH)

14c

tứ giác nội tiếp

(GTTH)

đường tròn.
Hiểu:

Câu 17

– Giải thích được

(GQVĐ)

định lí về tổng hai
góc đối của tứ
giác nội tiếp bằng
– Xác định được
tâm và bán kính
đường tròn ngoại
tiếp

hình

chữ

nhật, hình vuông.
Vận dụng:
–

Chứng

Bài 2.1
minh

(GQVĐ)

được tứ giác nội
tiếp.
– Giải quyết được
một số vấn đề
thực

tiễn

giản,

(đơn
quen

thuộc) gắn với
đường tròn.
– Giải quyết được
một số vấn đề
thực tiễn (phức
hợp, không quen
thuộc) gắn với
đường tròn.
Đa giác Biết:
đều

Câu 11

– Nhận dạng được (GTTH)
đa giác đều.
– Nhận biết được
phép quay.
– Nhận biết được
những hình phẳng
đều

trong

tự

nhiên, nghệ thuật,

kiến trúc, công
nghệ chế tạo,...
– Nhận biết được
vẻ đẹp của thế
giới tự nhiên biểu
hiện qua tính đều.
Hiểu:
– Mô tả được các
phép

quay

giữ

Câu 12

Câu 18

(TD/

(GQVĐ)

GQVĐ)

nguyên hình đa
giác đều.
Tổng số câu

10

2

6

2

4

4

Tổng số điểm

3,0

2,0

2,0

3,0

Tỉ lệ %

30

20

20

30

C. ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2 – TOÁN 9 – KẾT NỐI TRI THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO …

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2

TRƯỜNG …

MÔN: TOÁN – LỚP 9

MÃ ĐỀ MT101

NĂM HỌC: … – …
Thời gian: 90 phút
(không kể thời gian giao đề)

A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy
nhất vào bài làm.
Câu 1. Hàm số

xác định với

A. mọi giá trị

B. mọi giá trị

C. mọi giá trị

D. mọi giá trị

Câu 2. Cho hàm số
A.

Giá trị của
B.

B.

là

C.

Câu 3. Điểm đối xứng với điểm có tọa độ
A.

ứng với giá trị của

qua trục
C.

D.
là
D.

Câu 4. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc hai một ẩn?
A.

B.

C.

D.

Câu 5. Phương trình
A.

là phương trình bậc hai một ẩn có các hệ số
B.

Câu 6. Phương trình

C.
có biệt thức

D.
Phương trình này có hai

nghiệm phân biệt khi
A.
Câu 7. Phương trình

B.

C.
có các nghiệm là

A.

B.

C.

D.

lần lượt là

D.

Câu 8. Nhận định nào sau đây là sai?
A. Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
C. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
D. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.
Câu 9. Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao điểm của
A. ba đường trung trực.

B. ba đường phân giác.

C. ba đường trung tuyến.

D. ba đường cao.

Câu 10. Tứ giác nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?
E
A

B

N

M

R

F

S
D

Q

C

A.

P

B.

H

G

V
T

C.

D.

C.

D.

Câu 11. Mỗi góc của ngũ giác đều có số đo là
A.

B.

Câu 12. Cho hình vuông

có tâm

Có bao nhiêu phép quay thuận chiều tâm

vuông thành chính nó?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Trong câu 13 và câu 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Câu 13. Cho hàm số
a) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là
b) Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm
d) Giá trị lớn nhất của hàm số là
Câu 14. Cho tứ giác

có

nội tiếp đường tròn tâm

a)
b) Tâm
c)

là giao điểm ba đường phân giác của tam giác

D. 4.

biến hình

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

bằng

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Trong mỗi câu hỏi từ câu 15 đến câu 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày
lời giải chi tiết.
Câu 15. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của

để phương trình

Câu 16. Phương trình bậc hai

có nghiệm.

có một nghiệm là

Tìm giá trị

nghiệm còn lại (viết dưới dạng số thập phân) của phương trình.
Câu 17. Cho tứ giác

nội tiếp đường tròn

biết

Số đo cung

là bao

nhiêu độ?
Câu 18. Cho tam giác đều
biến điểm

thành điểm

Góc quay của phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm
là bao nhiêu độ?

B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Người ta trộn

g chất lỏng I với

g chất lỏng II có khối lượng riêng nhỏ hơn

được một hỗn hợp có khối lượng riêng là

g/cm3 để

g/cm3 (quá trình trộn lẫn không xảy ra phản ứng hóa

học). Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
2. Cho phương trình
hai nghiệm

là tham số). Tìm

thỏa mãn

Bài 2. (1,5 điểm) Cho tam giác

nhọn. Ba đường cao

minh:
1. Tứ giác

là các tứ giác nội tiếp.

2.
3.

để phương trình đã cho có

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
-----HẾT-----

cắt nhau tại

Chứng

D. ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2 – TOÁN 9 – KẾT NỐI TRI
THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO …

ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN GIẢI

TRƯỜNG …

KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2

MÃ ĐỀ MT101

MÔN: TOÁN – LỚP 9
NĂM HỌC: … – …

A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Bảng đáp án trắc nghiệm:
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Đáp án

A

C

C

D

B

C

C

D

B

B

C

D

Câu

13a

13b

13c

13d

14a

14b

14c

14d

15

16

17

18

Đáp án

S

S

Đ

Đ

Đ

S

S

Đ

1

–1,5

148

300

Hướng dẫn giải chi tiết
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Câu 1. Hàm số

xác định với

A. mọi giá trị

B. mọi giá trị

C. mọi giá trị

D. mọi giá trị

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số

xác định với mọi giá trị

Câu 2. Cho hàm số
A.

Giá trị của
B.

ứng với giá trị của

là

C.

D.

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thay

vào hàm số

ta được:

Câu 3. Điểm đối xứng với điểm có tọa độ
A.

B.

qua trục
C.

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua trục tung

là
D.

Câu 4. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc hai một ẩn?
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng
Như vậy phương trình

không là phương trình bậc hai một ẩn.

Câu 5. Phương trình
A.

là phương trình bậc hai một ẩn có các hệ số
B.

C.

lần lượt là

D.

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình

viết lại thành

là phương trình bậc hai một ẩn có các hệ số

lần lượt là:
Câu 6. Phương trình

có biệt thức

Phương trình này có hai

nghiệm phân biệt khi
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình
Câu 7. Phương trình

có hai nghiệm phân biệt khi
có các nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím:

Trên màn hình hiện lên kết quả:

ấn thêm phím

màn hình hiện kết quả

Ta thấy

và vai trò của

là như nhau nên ta chọn phương án C.

Câu 8. Nhận định nào sau đây là sai?
A. Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
C. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
D. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau.
Do đó nhận định ở phương án D là sai.
Câu 9. Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao điểm của
A. ba đường trung trực.

B. ba đường phân giác.

C. ba đường trung tuyến.

D. ba đường cao.

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao điểm của ba đường phân giác.
Câu 10. Tứ giác nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?
E
A

B

M

N

R

F

S
D

Q

C

A.

B.

P

H

G

C.

V
T

D.

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tứ giác

có tất cả các đỉnh đều nằm trên một đường tròn nên là tứ giác nội tiếp.

Câu 11. Mỗi góc của ngũ giác đều có số đo là
A.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C

B.

C.

D.

Ngũ giác đều được chia làm 3 tam giác nên có tổng số đo các góc là:
Ngũ giác đều có 5 góc bằng nhau nên mỗi góc của ngũ giác đều có số đo là:

Câu 12. Cho hình vuông

có tâm

Có bao nhiêu phép quay thuận chiều tâm

biến hình

vuông thành chính nó?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có bốn phép quay thuận chiều

tâm

giữ nguyên hình vuông

với

lần lượt nhận các

giá trị
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Câu 13. Cho hàm số
a) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là
b) Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm
d) Giá trị lớn nhất của hàm số là
Hướng dẫn giải
Đáp án:

a) Sai.

b) Sai.

c) Đúng.

d) Đúng.

Xét hàm số
⦁ Đồ thị hàm số có trục đối xứng là
⦁ Hàm số có hệ số
⦁ Thay

Do đó ý a) là sai.

nên đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành. Do đó ý b) là sai.

vào hàm số, ta được:

Như vậy, đồ thị hàm số

đi qua điểm

⦁ Đồ thị có đỉnh là gốc tọa độ

mà

Do đó ý c) là đúng.
nên điểm

thị hàm số. Như vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 0. Do đó ý d) là đúng.
Câu 14. Cho tứ giác

có

nội tiếp đường tròn tâm

a)
b) Tâm

là giao điểm ba đường phân giác của tam giác

là điểm cao nhất của đồ

c)
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

bằng

Hướng dẫn giải
Đáp án:

a) Đúng.

⦁ Tứ giác

b) Sai.

c) Sai.

nội tiếp đường tròn

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
⦁ Vì tam giác

d) Đúng.
nên

B

Do đó ý a) là đúng.

nội tiếp đường tròn

nên tâm

điểm ba đường trung trực của tam giác

Do đó ý b) là sai.

⦁

tròn

Tứ

giác

nội

tiếp

đường

A

là giao

nên

O

C

D

. Do đó ý c) là sai.
⦁ Tam giác

vuông tại

đường tròn đường kính

và tam giác

vuông tại

Như vậy tam giác

bán kính đường tròn này là

nên các điểm

nội tiếp đường tròn đường kính

nằm trên
khi đó

Do đó ý d) là đúng.

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Câu 15. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của

để phương trình

có nghiệm.

Hướng dẫn giải
Đáp số: 1.
Phương trình

có

Phương trình

có nghiệm khi

Như vậy, giá trị nguyên lớn nhất của

hay

suy ra

thỏa mãn yêu cầu đề bài là

Câu 16. Phương trình bậc hai

có một nghiệm là

Tìm giá trị

nghiệm còn lại (viết dưới dạng số thập phân) của phương trình.
Hướng dẫn giải
Đáp số:
Để phương trình
đó, tức là:

nhận

là nghiệm thì

thỏa mãn phương trình

Thay

vào phương trình đã cho, ta được phương trình

.

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím:

Trên màn hình hiện lên kết quả:

ấn thêm phím

màn hình hiện kết quả

Vậy nghiệm còn lại cần tìm là
Câu 17. Cho tứ giác

nội tiếp đường tròn

biết

Số đo cung

là bao

nhiêu độ?
Hướng dẫn giải

A

Đáp số: 148.

D
O

Vì tứ giác

nội tiếp nên

(tổng hai góc đối của

B

106°

tứ giác nội tiếp)

C

Suy ra
Khi đó,

(số đo cung gấp hai lần số đo góc nội tiếp chắn cung đó).

Câu 18. Cho tam giác đều
biến điểm

thành điểm

Góc quay của phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm
là bao nhiêu độ?

Hướng dẫn giải
Đáp số: 300.
Xét

đều có

và

.

Phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm
điểm

tạo nên cung lớn

biến điểm

thành
A

có số đo là:
B

Vậy góc quay của phép quay đó là

C

B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Người ta trộn

g chất lỏng I với

g chất lỏng II có khối lượng riêng nhỏ hơn

được một hỗn hợp có khối lượng riêng là
học). Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

g/cm3 để

g/cm3 (quá trình trộn lẫn không xảy ra phản ứng hóa

2. Cho phương trình
hai nghiệm

là tham số). Tìm

để phương trình đã cho có

thỏa mãn

Hướng dẫn giải
1. Gọi

(g/cm3) là khối lượng riêng của chất lỏng I

Khi đó, khối lượng riêng của chất lỏng II là
Thể tích của chất lỏng I là:

(g/cm3).

(cm3).

Thể tích của chất lỏng II là:

(cm3).

Khối lượng hỗn hợp sau khi trộn là:

(g).

Thể tích của hỗn hợp sau khi trộn là:

(cm3).

Ta có phương trình:

.

Giải phương trình:

Phương trình có

và

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
(thỏa mãn);
Vậy khối lượng riêng của chất lỏng I là
(g/cm3).
2. Xét phương trình

có

(không thỏa mãn).
g/cm3; khối lượng riêng của chất lỏng I là

Với mọi

ta thấy

nên

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

với mọi giá trị của

Theo định lí Viète, ta có:
Ta có:

(thỏa mãn) hoặc

(thỏa mãn).

Vậy
Bài 2. (1,5 điểm) Cho tam giác

nhọn. Ba đường cao

minh:
1. Tứ giác

là các tứ giác nội tiếp.

2.
3.

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Hướng dẫn giải

cắt nhau tại

Chứng

1. Vì

là đường cao của tam giác
Do đó

nên

hay

Suy ra hai điểm

và

A

.
K

cùng nằm trên đường tròn đường kính
L

Vậy bốn điểm

cùng nằm trên đường tròn đường kính

hay tứ giác

nội tiếp đường tròn đường kính

2. Chứng minh tương tự câu 1, ta có tứ giác

B

H

O
C

I

nội tiếp

đường tròn đường kính
Suy ra

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

Chứng minh tương tự, ta có tứ giác

nội tiếp đường tròn đường kính

nên

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
Lại có

(đối đỉnh)

Do đó
3. Ta có
Mà

và
(câu 2) nên

hay

tức

là tia phân giác của

Chứng minh tương tự, ta có

là tia phân giác của

Xét tam giác

là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại

có

đường tròn nội tiếp tam giác
-----HẾT-----

nên

là tâm